Kural 1

Ýki basamaklý ve 5 ile baþlayan sayýlarýn karesi

Birler basamaðý ile 25 sayýsý toplanarak cevap bulunur.

Örnek1:

562 = 25+36= 61

Örnek2:

512 = 25+01= 26



Kural 2

Birler basamaðýndaki sayýlarý 1 olan 2 basamaklý 2 sayýnýn çarpýmý

a1 * b1 = a * b | a + b | 1

Saðdan sola doðru önce 1 sonra bu iki sayýnýn onlar basamaðýndaki sayýlarýn toplamýný, sonra da çarpýmýný yazarýz. a+b> 9 olursa 1 elde olarak geçer.

Örnek1:

31 * 61 = 3 * 6 | 3 + 6 | 1 = 1891

Örnek2:

91 * 71 = 9 * 7 | 9 + 7 | 1 = 9 * 7 | 16 | 1 = 6461



Kural 3

Sonu sýfýrla biten sayýlarýn çarpýmý

Örnek1:

20 ile 300'ü çarpmanýz gerektiðini düþünelim. Ýlk önce sýfýrlarý dikkate almayýn. 2*3 iþleminden 6 elde edilir. Þimdi 6'nýn arkasýna dikkate almadýðýmýz sýfýrlarý ekleyin böylece sonuç 6000 çýkar.

Örnek2:

70*70 iþlemini yapalým. Bunun için baþta 7*7'i çarpýp 49'u yazar ve arkasýna 2 tane 0 ekleyerek sonucu 4900 buluruz.



Kural 4
101, 1001, 10001, vb. bir sayý ile, bu sayýdan bir basamak küçük bir sayýnýn çarpýmý

Bunun için sayýyý yan yana 2 defa yazmak yeterlidir.

Örnekler:

101 * 68 = 6868

1001 * 752 = 752752

10001 * 4605 = 46054605

Kural 5

Bir sayýnýn 25 ile çarpýmý

A * 25 = A * 100/4

Bir sayýyý 25 ile çarpmak için önce o sayýyý 4 e böler, sonra 100 ile çarparýz. Sayý tam olarak dörde bölünürse, bölümün arkasýna iki sýfýr konur, tam olarak bölünmeyip:



1 artarsa bölümün sonuna 25 yazýlýr



2 artarsa bölümün sonuna 50 yazýlýr



3 artarsa bölümün sonuna 75 yazýlýr.

Görüldüðü gibi bölümün sonuna artan sayýnýn 25 katý yazýlýyor.

Örnek1:

48 * 25 = 48/4 * 100

48/4 = 12 eder ve arkasýna 2 sýfýr yazarak 1200 buluruz.

Örnek2:

241 * 25 =?

241/4 = 60 buluruz ve 1 artar. Bu yüzden sonuna 25 yazarýz. Sonuç 6025 olur.

Örnek3:

1642 * 25 =?

1642/4 = 410 ve artan 2 dir. 410'un sonuna 50 yazarýz ve sonuç 41050 olur.



Kural 6

Ýki basamaklý bir sayýnýn karesi

(ba)2 = b2 | 2ab | a2

Bu bize (b + a)2 sinin açýlýmý olan b2 + 2ab + a2 yi anýmsatmaktadýr, sadece aradaki toplama iþaretleri ortadan kalkmýþtýr. Altý çizili sayýlar elde olarak alýnacaktýr.

Örnek1:

312 = 32 | 2*3*1 | 12 = 9 | 6 | 1= 961

Örnek2:

762 = 72 | 2*7*6 | 62

49 | 84+3 | 6

49 | 87 | 6

49 + 8 | 7 | 6

5776



Kural 7

A gibi bir sayýya göre simetrik iki sayýnýn çarpýmý

A gibi bir sayýdan ±B kadar önce ve sonra gelen iki sayýnýn çarpýmý A2- B2 ye eþittir.

Örnekler:

808 * 793 = 800- 72 = 64000- 49 = 639951

525 * 475 = 5002- 252 = 25000- 625 = 249375



Not: Bu çýkarma iþlemini þu þekilde pratik yoldan yapabiliriz. Sýfýrlardan saðdan ilkini (1’ler basamaðýndakini) 10 diðerlerini 9 olarak düþünürüz ve sola doðru sýfýrlardan sonraki ilk rakamdan 1 çýkarýrýz.



Kural 8

501 ile 999 arasýndaki sayýlarýn karesini bulma

999'un karesini bulalým hesap makinesinde yaparsak sonuç 998001 çýkacaktýr. Biz bunu zihinden yapmak istersek 999'un 1000'den kaç eksik olduðunu bulacaðýz. 999, 1000'den 1 eksik o halde 1*1=1 yani 1000'den kaç eksikse o sayýnýn karesini alýyoruz sonra 999'dan 1 çýkarýyoruz 999- 1=998. Bulduðumuz sayýnýn yanýna 3 tane 0 koyuyoruz. 998000 oldu. Sayýmýzýn 1000'den kaç eksik oyduðunu bulmuþtuk ve karesini almýþtýk. Bunu da sonra topluyoruz 998000+1=998001 iþte sonucu zihinden bulduk (not: 1'in karesini aldýk ayný þeyi 997 üzerine yapsaydýk 3*3=9 alacaktýk).



Kural 9

Aralarýnda 2 fark bulunan sayýlarýn çarpýmý

Bunun için sayýlarýn ortalamasýný kendisiyle çarparýz ve bir eksiðini alýrýz. Örneðin 19 ile 21 i çarpmak için 20*20-1 iþlemini yapar ve sonucu 399 olarak buluruz.

Aralarýnda 4 fark bulunan sayýlarýn çarpýmýný bulmak için ise sayýlarýn ortalamasýný kendisiyle çarparýz ve bu sefer dört eksiðini alýrýz. Örneðin 13 ile 9 u çarpmak için 11*11-4 iþlemini yapar ve sonucu 117 olarak buluruz.



Kural 10

11 ile çarpma
Sayýmýz kaç basamaklý olursa olsun 11 ile çarpmak için birler basamaðýný yazýp, daha sonra sola doðru ikiþer ikiþer sayýlarýn toplamýyla sonuca ulaþabiliriz.
Örnek1:
12*11=?
1 /1+2 / 2
1 3 2
Buradan 12*11= 132

Örnek2:
123 * 11 = ?
1 / 1+2 / 2+3 / 3
1 3 5 3
Buradan 123 x 11 = 1353.

Örnek3:
2134 * 11=?
2 / 2+1 / 1+3 / 3+4 / 4
2 3 4 7 4
Buradan 2134 x 11 = 23474.


Kural 11

100 den büyük ve 100 e yakýn iki sayýnýn çarpýmý

Örnek1:

109*104 çarpýmýný hesaplayalým. Önce her zaman 1 yazýlýr. Sonra 9 ile 4 ün toplamý daha sonra 9 ile ün çarpýmý yazýlýr. Cevap: 11336

Örnek2:

101*127=? Önce 1 sonra 1 ile 27 toplamý en sonunda ise 1 ile 27’nin çarpýmý yazýlýr ve cevap 12827 olur.



Kural 12

Sonu 1 veya 9 ile biten bir sayýnýn karesi:

212= 202+(20+21)

312= 302+(30+31)

192= 202-(20+19)

392= 402–(40+39)



Kural 13

Bir sayýnýn 5 ile çarpýmý

Bir sayýyý 5 ile çarpmak için 10 ile çarpýp yarýsýný almak yeterlidir. Örneðin, 42 ile 5 i çarpmak yerine 420 sayýsýný ikiye böler cevabý 210 buluruz.



Kural 14

Tek sayýlarýn toplamý



1=12

1+3= 22

1+3+5= 32

1+3+5+7= 42

1+3+5+7+9= 52

1+3+5+7+9+11= 62


Kural 15

Sonu 5 ile biten sayýlarýn karesi

(b5)2 = b*( b + 1 ) | 25

Sonu beþ ile biten sayýlarýn karesini bulmak için yirmi beþ yazar, önüne bu sayýnýn onlar basamaðýndaki sayýsý ile onun bir fazlasýnýn çarpýmýný yazarýz.

Örnekler:

352 = 3*(3 + 1) | 25 = 3*4 | 25 = 1225

652 = 6*7 | 25 = 4225

852 = 8*9 | 25 = 7225

1052 = 10*11 | 25= 11025



Kural 16

Sonu 4 ile biten sayýlarýn karesi
Örnek:

642 =?
Ýlk olarak bu sayýnýn 1 fazlasýnýn karesi bulunur.

Yani(64+1)2=652=4225 (bunu bulmayý kýsa yoldan biliyoruz).
Sonra 64+65=129. Son olarak 4225- 129=4096. Yani 642= 4096



Kural 17

Sonu 6 ile biten sayýlarýn karesi
Örnek1:

762=?
Önce 1 eksiðinin karesi alýnýr.752=5625.
Sonra 76+75=151. Son olarak 5625+151=5776 bulunur.
Örnek2:

712=?
(71- 1)=70
702=4900
70+71=141
4900+141=5041



Kural 18

a) 11 ile tüm rakamlarý 1 olan k basamaklý bir sayý çarpýldýðýnda sonuç 1 ile baslar ve 1 ile biter 1’ler arasýnda k-1 tane 2 vardýr.
Örnekler:
11x11111(5basamaklý)=122221
11x11111111(8basamaklý)=122222221

b)Yine tüm rakamlarý 1 ve basamak sayýlarý eþit olursa yan yana 1’lerin karesi yani 11111x11111 gibi sayý kaç basamaklýysa o kadar 123.... diye yazýlýr sonra tekrar geriye doðru inilir
Örnekler:
1111x1111(4basamaklý)=1234321
1111111x1111111(7basamklý)=1234567654321



c)Rakamlarýnýn hepsi 1 ama basamak sayýlarý eþit olmadýðýnda basamak sayýsý az olanýn basamak sayýsý kadar 123... yazýlýr sonra iki sayýnýn basamak sayýlarý farký kadar hangi rakamda kalýnmýþsa tekrar edilir ve tekrar 1’e dönülür
Örnekler:
111(3basamklý)x111111(6basamaklý)= 12333321 (basamak farklarý 3 tane olduðu için 3 tane daha 3 yazýlýr)
11111(5basamklý)x11111111(8basamaklý)=123455554321



Umarim ÝÞÝnÝze Yarar

Cosx+cos6x+cos11x
----------------------- = BÖyle Ýfadelerde
SÝnx+sÝn6x+sÝn11x


En SoldakÝ Ýle En SaÐdakÝnÝn Toplaminin Yarisi OrtadakÝnÝ VerÝyor Ýse YanÝ X+11x=12x/2=6x OrtadakÝnÝ VerÝyor Ýse Yanliz Hem Pay Hemde Payda ÝÇÝn Uygulamak GerekÝr SonuÇ OrtadakÝlerÝn Oranidir
YanÝ

Cos6x
-------
SÝn6x TÝr

Ýsteyen ArkadaÞlarda Uzun Yoldan YapabÝlÝr

Bu Kural 4tane Ard Arda Olanlar ÝÇÝnde GeÇerlÝ

YanÝ

SÝn10+sÝn20+sÝn30+sÝn40
-------------------------------=
Cos10+cos20+cos30+cos40

Yanliz Bundada ÞÖyle Yapmak GerekÝyor

En SaÐ Ve En SoldakÝlerÝn Toplami OrtadakÝlerÝn Toplamini VerÝyor Ýse YanÝ 10+40=50 20+30=50 YanÝ BÝrbÝrÝne EÞÝt Oluyor Ýse

OrtadakÝlerÝn Toplaminin Yarisi Orani Vardir

YanÝ SonuÇ

SÝn25
-------
Cos25 TÝr




MATEMATÝK - Ýlginç Sayýlar

12.345.679 * 9 =111.111.111
12.345.679 * 18 =222.222.222
12.345.679 * 27 =333.333.333
12.345.679 * 36 =444.444.444
12.345.679 * 72 = 888.888.888
12.345.679 * 81 = 999.999.999

ARTIK RAKAMLARI 1 OLAN SAYILARIN KARELERÝNÝ ALMAK KOLAY
12= 1
112= 121
1112= 12321
11112= 1234321
111112= 123454321
1111112= 12345654321
11111112= 1234567654321
{7 adet 1}

tek sayýlarýn toplamý
1=12
1+3= 22
1+3+5= 32
1+3+5+7= 42
1+3+5+7+9= 52
1+3+5+7+9+11= 62

6 tek sayýnýn toplamý

BAK ÞU ÝÞE

1+2= 3
4+5+6= 7+8
9+10+11+12= 13+14+15
16+17+18+19+20= 21+22+23+24

BAK ÞU SAYILARA

4913=(4+9+1+3)3
5832=(5+8+3+2)3
19683=(1+9+6+8+3)3
17576=(1+7+5+7+6)3
390265=(3+9+0+6+2+5)4
234256=(2+3+4+2+5+6)4

ÝLGÝNÇ EÞÝTLÝKLER

25.92 = 2592
13+53+33=153
33+73+13=371



BUNLARIDA ÝNCELEYÝN...

(2+3+4+2+5+6)^4 =234256

(5+2+5+2+1+8+7+5)^5 = 52521875

153 = 1^3 + 5^3 + 3^3

371= 3^3 + 7^3 + 1^3

135 = 1*3*5*(1+3+5)

144 = 1*4*4*(1+4+4)

8833 = 88^2 + 33^2

37+3*7 = 3^2+7^2

37*(3+7) = 3^3+7^3

(1^5+2^5+3^5+...+n^5)+(1^7+2^7+3^7+...+n^7) = 2*(1+2+3+...+n)^4

1^n + 6^n + 7^n + 17^n + 18^n + 23^n= 2^n + 3^n + 11^n + 13^n + 21^n + 22^n

(n=1, 2, 3, 4, 5 olabilir)


1*8 = 8 (0+8 = 8 )

2*8 = 16 (1+6 = 7)

3*8 = 24 (2+4 = 6)

4*8 = 32 (3+2 = 5)

5*8 = 40 (4+0 =4)

6*8 = 48 (4 8 = 12 ve 1+2=3)

7*8 = 56 (5+6 = 11 ve 1+1 =2)

8*8 = 64 ( 6+4 = 10 ve 1+0 = 1)




6*2 = 12

6*3 = 18

6*4 = 24

6*5 = 30

6*6 = 36

6*7 = 42

6*8= 48
(1+2 = 3)

(1+8 = 9)

(2+4 = 6)

(3+0 = 3)

(3+6 = 9)

(4+2 = 6)

(4+8 = 12 ve1+2 = 3)



Gördüðünüz gibi rakamlar toplamý 3, 9, 6 þeklinde devam ediyor
ve daha büyük sayýlar için de bu kural geçerli