FONKSÝYON

A. TANIM

A ¹Æ ve B ¹Æ olmak üzere, A dan B ye bir b baðýntýsý verilmiþ olsun.
A nýn her elemaný B nin elemanlarýyla en az bir kez ve en çok bir kez eþleniyorsa bu baðýntýya fonksiyon denir.
"x Î A ve y Î B olmak üzere, A dan B ye bir f fonksiyonu
f : A ® B ya da x ® f(x) = y biçiminde gösterilir. A ya fonksiyonun taným kümesi, B ye de deðer kümesi denir.

Sadece Üyeler Linkleri Görebilir... Kayit Ol

Yukarýda A dan B ye tanýmlanan f fonksiyonu
f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 2)}
biçiminde de gösterilir.
***Her fonksiyon bir baðýntýdýr. Fakat her baðýntý fonksiyon olmayabilir.
***Görüntü kümesi deðer kümesinin alt kümesidir.
*** s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,
i) A dan B ye n^m tane fonksiyon tanýmlanabilir.
ii) B den A ya mⁿ tane fonksiyon tanýmlanabilir.
iii) A dan B ye tanýmlanabilen fonksiyon olmayan baðýntýlarýn sayýsý 2^{m × n} – n^m dir.
*** Grafiði verilen bir baðýntýnýn fonksiyon olup olmadýðýný anlamak için, y eksenine paralel doðrular çizilir. Bu doðrular fonksiyonun belirttiði eðride en az bir ve en çok bir noktayý kesiyorsa verilen baðýntý x ten y ye bir fonksiyondur.


B. FONKSÝYONLARDA ÝÞLEMLER
A Ç B ¹Æ olmak üzere,
fonksiyonlarý tanýmlansýn.
1.(f + g) : A Ç B ® , (f + g)(x) = f(x) + g(x)
2.(f – g) : A Ç B ® , (f – g)(x) = f(x) – g(x)
3.(f × g) : A Ç B ® , (f × g)(x) = f(x) × g(x)
4."x Î A Ç B için, g(x) ¹ 0 olmak üzere,

Sadece Üyeler Linkleri Görebilir... Kayit Ol

1.c Î olmak üzere,
(c × f) : A ® , (c × f)(x) = c × f(x) tir.


C. FONKSÝYON ÇEÞÝTLERÝ
1. Bire Bir Fonksiyon
Bir fonksiyonda farklý elemanlarýn görüntüleri de farklýysa fonksiyon bire birdir.
Buna göre, bire bir fonksiyonda,
"x₁, x₂ Î A için, x₁ ¹ x₂ iken f(x₁) ¹ f(x₂) olur.
Diðer bir ifadeyle,
"x₁, x₂ Î A için, f(x₁) = f(x₂) iken
x₁ = x₂ ise, f fonksiyonu bire birdir.
*** s(A) = m ve s(B) = n (n ³ m) olmak üzere,
A dan B ye tanýmlanabilecek bire bir fonksiyonlarýn sayýsý,

Sadece Üyeler Linkleri Görebilir... Kayit Ol

2. Örten Fonksiyon
Görüntü kümesi deðer kümesine eþit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir.


*** f : A ® B
f(A) = B ise, f örtendir.
*** s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanýmlanabilen bire bir örten fonksiyonlarýn sayýsý,
m! = m × (m – 1) × (m – 2) × ... × 3 × 2 × 1 dir.


3. Ýçine Fonksiyon
Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.
*** Ýçine fonksiyonun deðer kümesinde eþlenmemiþ eleman vardýr.
*** s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanýmlanabilen içine fonksiyonlarýn sayýsý m^m – m! dir.


4. Birim (Etkisiz) Fonksiyon
Her elemaný kendisine eþleyen fonksiyona birim fonksiyon denir.

Sadece Üyeler Linkleri Görebilir... Kayit Ol

ise, f birim (etkisiz) fonksiyondur.
Birim fonksiyon genellikle I ile gösterilir.


5. Sabit Fonksiyon
Taným kümesindeki bütün elemanlarý deðer küme-sindeki bir elemana eþleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir.
*** "x Î A ve c Î B için,
f : A ® B
f(x) = c
ise, f sabit fonksiyondur.
*** s(A) = m, s(B) = n olmak üzere,
A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanýmlanabilir.


6. Çift ve Tek Fonksiyon

Sadece Üyeler Linkleri Görebilir... Kayit Ol

f(–x) = f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur.
f(–x) = –f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur.
*** Çift fonksiyonlarýn grafikleri Oy eksenine göre simetriktir.
*** Tek fonksiyonlarýn grafikleri orijine göre simetriktir.


D. EÞÝT FONKSÝYON
f : A ® B
g : A ® B
Her x Î A için f(x) = g(x) ise, f fonksiyonu g fonksiyonuna eþittir.


E. PERMÜTASYON FONKSÝYON
f : A ® A
olmak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f fonksiyonuna permütasyon fonksiyon denir.
A = {a, b, c} olmak üzere, f : A ® A
f = {(a, b), (b, c), (c, a)}
fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup

Sadece Üyeler Linkleri Görebilir... Kayit Ol

biçiminde gösterilir.


F. TERS FONKSÝYON
f : A ® B, f = {(x, y)|x Î A, y Î B} bire bir ve örten fonksiyon olmak üzere,
f^–1 : B ® A, f^–1 = {(y, x)|(x, y) Î f} fonksiyonuna f nin ters fonksiyonu denir.

Sadece Üyeler Linkleri Görebilir... Kayit Ol

(x, y) Î f ise, (y, x) Î f^–1 olduðu için,
y = f(x) ise, x = f^–1(y) dir.
Ayrýca, (f^–1)^–1 = f dir.






*** (f^–1)^–1 = f dir. Ancak, (f^–1(x))^–1 ¹ f(x) tir.
*** f fonksiyonu bire bir ve örten deðilse, f^–1 fonksiyon deðildir.


*** f : A ® B ise, f^–1 : B ® A olduðu için, f nin taným kümesi, f^–1 in deðer kümesidir. f nin deðer kümesi de, f^–1 in taným kümesidir.


*** f(a) = b ise, f^–1(b) = a dýr.
f^–1(b) = a ise, f(a) = b dir.

Sadece Üyeler Linkleri Görebilir... Kayit Ol

*** y = f(x) fonksiyonunun grafiði ile y = f^–1(x) in grafiði
y = x doðrusuna göre birbirinin simetriðidir.

Sadece Üyeler Linkleri Görebilir... Kayit Ol

***

Sadece Üyeler Linkleri Görebilir... Kayit Ol

olmak üzere,

Sadece Üyeler Linkleri Görebilir... Kayit Ol

*** Sadece Üyeler Linkleri Görebilir... Kayit Ol olmak üzere,

Sadece Üyeler Linkleri Görebilir... Kayit Ol

G. BÝLEÞKE FONKSÝYON
f : A ® B, g : B ® C fonksiyonlarý tanýmlansýn.
f ve g yi kullanarak A kümesinin elemanlarýný C kümesinin elemanlarýna eþleyen fonksiyona g ile f nin bileþke fonksiyonu denir.

Sadece Üyeler Linkleri Görebilir... Kayit Ol

Buna göre,
f : A ® B ve g : B ® C olmak üzere, gof : A ® C fonksiyonuna f ile g nin bileþke fonksiyonu denir ve g bileþke f diye okunur.
*** (gof)(x) = g[f(x)] tir.


*** Bileþke iþleminin deðiþme özeliði yoktur.
Bu durumda, fog ¹ gof dir.
Bazý fonksiyonlar için fog = gof olabilir. Ancak bu “fonksiyonlarda deðiþme özeliði yoktur.” gerçeðini deðiþtirmez.
*** Fonksiyonlarda bileþke iþleminin birleþme özeliði vardýr.
Bu durumda (fog)oh = fo(goh) = fogoh olur.




*** I birim fonksiyon olmak üzere,
foI = Iof = f ve
f^–1of = fof^–1 = I dýr.
*** f, g ve h fonksiyonlarý bire bir ve örten olmak üzere,
(fog)^–1 = g^–1of^–1 ve
(fogoh)^–1 = h^–1og^–1of^–1 dir.
*** (fog)(x) = h(x)
ise, f(x) = (hog^–1)(x) dir.
ise, g(x) = (f^–1oh)(x) tir.


***

Sadece Üyeler Linkleri Görebilir... Kayit Ol

• f^–1 (x) = f(x) tir.
• (fof) (x) = x
• (fofof) (x) = f(x)
• (fofofof) (x) = x
...
H. FONKSÝYONUN GRAFÝÐÝ
Bir fonksiyonun elemanlarýna analitik düzlemde karþýlýk gelen noktalarýn kümesine bu fonksiyonun grafiði denir.
f : A ® B, f = {(x, y)|x Î A, y Î B, y = f(x)}

Sadece Üyeler Linkleri Görebilir... Kayit Ol

(a, b) Î f
olduðundan
f(a) = b dir.
Ayrýca, f^–1(b) = a dýr.

Sadece Üyeler Linkleri Görebilir... Kayit Ol

Yukarýdaki y = f(x) fonksiyonunun grafiðine göre,
f(–3) = 3, f(–2) = 1, f(–1) = 2, f(0) = 2, f(1) = 1,
f(2) = 0, f(3) = 2, f(4) = 1, f(5) = 0 dýr.